Ambas as palavras possuem enunciados parecidos, mas isso não quer dizer que seus significados sejam os mesmos. E é justamente por isso que muitas pessoas se confundem a diferença entre emergência e urgência. 

Mas como diferenciar algo que é urgente de algo que é emergente? Não é muito simples, pois, realmente, seus significados são quase iguais. 

Urgência:
Urgência é um fato onde deve-se tomar uma providência imediata e correta, pois, caso haja adiamento, pode acarretar diversos problemas. 

No âmbito da medicina, urgência quer dizer a ocorrência imprevista de agravo à saúde, em que o paciente necessita urgentemente de uma assistência médica.

Ou seja, quando o paciente está em um estado bastante critico e precisa de atendimento médico adequado para que sua situação não agrave, é chamada de situação de Urgência. 

Esta palavra vem do verbo “urgir”, que tem sentido de “não aceita demora”. 

Emergência:

Emergência é quando há situações críticas, de estados agravados, com ocorrência de perigo; incidente, imprevisto. 

Esse é um fato onde não pode em hipótese alguma, aguardar nenhum período para que seja tomada a devida providência. 
Mais uma vez usando o âmbito da medicina para melhor entendimento, a palavra emergência é a circunstância que exige rapidamente de uma cirurgia ou intervenção médica de imediato. Por isso, na maioria das ambulância há “emergência” escrito. 

Fonte: http://diferençaentre.com